background image

GEOLOGICA  CARPATHICA,  FEBRUARY  2007,  58,  1,  97—102

www.geologicacarpathica.sk

Geophysical indirect effect on interpretation of gravity data

in Slovakia

PETER  VAJDA  and  JAROSLAVA  PÁNISOVÁ

Geophysical Institute, Slovak Academy of Sciences, Dúbravská cesta 9, 845 28 Bratislava, Slovak Republic;

peter.vajda@savba.sk;    jpanisova@yahoo.co.uk

(Manuscript received November 22, 2005; accepted in revised form June 22, 2006)

Abstract: This paper deals with the proper definition and correct compilation of the Bouguer gravity anomaly that
differs  from  the  standard  definition  repeatedly  advocated  in  the  geophysical  literature.  The  difference  between  the
new “correct” definition of the Bouguer anomaly and its “standard” definition has become known in geophysics as the
“geophysical indirect effect”. Here we investigate the magnitude and variation of the geophysical indirect effect as a
systematic error in gravity data inversion or interpretation in Slovakia. It is found that in Slovakia this effect is of the
order of 3 mGal with a spatial variability of about 0.5 mGal over some 100 km. The impact of the geophysical indirect
effect  on  the  determination  of  the  depth  of  a  density  interface  is  also  estimated.  In  Slovakia,  the  impact  of  this
systematic error is of the order of about 300 meters for a density contrast of 300 kg/m

3

.

Key words: gravity data, Bouguer anomaly, geophysical indirect effect.

Introduction

When  interpreting  gravity  data,  we  seek  to  determine  the
density  distribution  in  order  to  gather  knowledge  of  sub-
surface  geological  structure.  The  inverse  problem  in
gravimetry  is  typically  formulated  in  terms  of  relating  the
anomalous  density  distribution  to  the  parameters  of  the
anomalous  field  derived  from  the  disturbing  potential.
These  parameters  include  the  gravity  anomaly,  gravity
disturbance,  geoidal  undulation,  and  various  derivatives
(horizontal,  vertical,  mixed)  of  the  disturbing  potential.

We  focus  in  particular  on  the  relation  between  anoma-

lous  masses  and  anomalous  gravity.  In  geophysical  prac-
tice,  the  Bouguer  gravity  anomaly  has  been  used  most
extensively.  Many  geophysicists  have  already  argued  that
correct  interpretation  of  gravity  data  requires  that  the
Bouguer  anomaly  is  compiled  using  normal  gravity  eval-
uated  at  the  station  (which  implies  the  use  of  ellipsoidal
heights  as  opposed  to  heights  above  sea  level  in  the  for-
mula  for  computing  normal  gravity),  and  using  the  refer-
ence  ellipsoid  (as  opposed  to  sea  level)  as  the  lower
boundary  of  topographic  masses  in  evaluating  the  topo-
graphic  correction  (Chapman  &  Bodine  1979;  Vogel
1982;  Jung  &  Rabinowitz  1988;  Meurers  1992;  Talwani
1998;  Hackney  &  Featherstone  2003;  Vajda  et  al.  2006;
and  others).  The  failure  to  do  so  leads  to  a  systematic  error
that  has  become  known  in  gravimetry  as  the  “geophysical
indirect  effect”  (ibid).

Vajda  et  al.  (2006)  have  recently  demonstrated  that  if

we  look  for  a  rigorous  match  to  the  “gravitational  effect”
(attraction)  of  anomalous  density,  we  arrive  at  the  quantity
compiled  from  observed  gravity  named  by  them  the
“NETC  gravity  disturbance”  (where  NETC  denotes  ‘No  el-
lipsoidal  topography  of  constant  density’,  the  definition
and  compilation  of  which  is  reviewed  in  section 2)  to  dis-

tinguish  it  from  the  commonly  used  “Bouguer  gravity
anomaly”.  In  other  words,  in  the  quest  to  determine  the
anomalous  density  by  means  of  gravity  inversion  or  for-
ward  and  inverse  modeling,  the  gravity  data  to  be  mod-
eled  or  to  be  inverted  are  strictly  those  gravity  data
defined  as  the  “NETC  gravity  disturbance”.  The  difference
between  the  NETC  gravity  disturbance  and  the  Bouguer
gravity  anomaly
,  which  constitutes  the  geophysical  indi-
rect  effect  (cf.  ibid),  is  relatively  small,  of  the  order  of
10 mGal.  The  issue  we  shall  examine  here  is  whether  or
not  this  relatively  small  difference  is  significant  to  geo-
physical  interpretations.  Our  aim  is  to  numerically  assess
the  geophysical  indirect  effect  in  Slovakia,  as  well  as  to
estimate  its  impact  on  the  interpreted  anomalous  density
distribution,  especially  its  impact  on  the  interpreted  depth
of  density  interfaces.

Gravity  inversion/interpretation  formulated  in

terms of the attraction of anomalous masses

We  shall  use  the  following  notation:  the  horizontal  po-

sitions  of  points  are  represented  by  geographical  coordi-
nates,  latitude 

φ  and  longitude  λ,  vertical  position  of  a

point  by  ellipsoidal  (geodetic)  height  h,  which  is  reck-
oned  from  the  reference  ellipsoid  as  a  height  datum,  not
by  a  height  above  sea  level  (in  Slovakia:  “normal  height”)
H

N

,  which  is  reckoned  from  “sea  level”  (in  Slovakia:

“quasigeoid”)  as  a  vertical  datum.  For  brevity,  the  hori-
zontal  position  is  often  denoted  by 

Ω   

φ, λ .  Actual

(measured)  gravity  is  denoted  by  g,  normal  gravity  by 

γ,

and  quasigeoidal  height  (the  separation  between  “sea  lev-
el”  and  the  reference  ellipsoid)  by  N.  In  our  developments,
the  Newton  volume  integrals  are  evaluated  using  a  spheri-
cal  approximation  (e.g.  Vajda  et  al.  2004a)  with  a  mean

background image

98

VAJDA and PÁNISOVÁ

earth  radius  R.  Thus,  the  reciprocal  Euclidean  distance  be-
tween  a  computation  point  (h

  and  any  integration

point  (h

’,  ’   is  (ibid,  Eqs. [19]  and [22]):

  

 

,

 

,

 

,

1

h

h

L

2

1

  

  

2

 

2

 

 

cos

  

 

2

 

 

ψ

h

R

h

R

h

R

h

R

,

                                                                                                (1)
where cos 

ψ =  sin φ sin φ’+   cos φ cos φ’cos (λ—λ’), ψ  be-

ing  the  angular  (spherical)  distance  between 

Ω  and  Ω’.

The  NETC  gravity  disturbance,  at  the  observation

point,  is  defined  as  (Vajda  et  al.  2006):

                                                                                                                                                              

  (2)

The  first  term  on  the  right  hand  side  is  the  actual  (ob-

served)  gravity  at  the  observation  point  (station),  the  sec-
ond  term  is  the  normal  gravity  at  the  observation  point,  and
the  third  term  is  the  topographic  correction  to  the  gravity
disturbance
,  evaluated  at  the  observation  point,  adopting
the  reference  ellipsoid  (= 0)  as  the  lower  boundary  of  topo-
graphic  masses,  the  topographic  surface  (h

T

 ( ))  as  the

upper  boundary,  and  constant  density 

for  topographic

masses.  G  is  the  Newton  gravitational  constant, 

stands

for  the  solid  angle  (representing  integration  over  the  entire
globe  –  full  sphere),  d

’=cos  ’  d ’  and  the  kernel

of  the  volume  integral  reads:

J(h,  , h’,  ’) 

                                         

                                                        

(3)

This  topographic  correction  should  strictly  be  evaluat-

ed  over  the  whole  globe.  It  represents  the  negative  attrac-
tion  of  masses  of  constant  density  between  the  reference
ellipsoid  and  the  topographic  surface.

Let  us  now  define  (ibid)  the  gravitational  effect  of

anomalous  masses  ( A),  i.e.  the  attraction  of  anomalous
density  (

)  within  the  whole  earth  (below  the  topo-

graphic  surface),  again  assuming  a  spherical  approxima-
tion  (cf.  Vajda  et  al.  2004a):

                                                                                                 (4)

Equation  (4)  represents  the  Newton  volume  integral

(with  the  kernel  J  given  by  Eq. (3))  of  the  anomalous
density  within  the  entire  volume  of  the  earth,  bound  by
the  topographic  surface.  The  background  (reference)  den-
sity  model  used  to  construct  the  anomalous  density 
from  the  real  density  is  described  in  detail  in  (Vajda  et  al.
2004b,  sec. 3.1;  Vajda  et  al.  2006,  sec. 3).  It  consists  of  a
model  ‘normal’  density  distribution  inside  the  reference
ellipsoid  that  generates  the  normal  gravitational  field,
and  of  the  constant  density  distribution  between  the  ref-
erence  ellipsoid  and  the  topographic  surface.

Vajda  et  al.  (2006)  give  a  rigorous  proof  that:

δg 

NETC

 

h,

Ω) = 

δA(h, Ω),                                (5)

which,  in  words,  means  that  the  attraction  of  anomalous
masses
  inside  the  earth  (below  the  topographic  surface)  is
exactly  equal  to  the  anomalous  gravity  quantity  defined
as  the  NETC  gravity  disturbance.  Put  another  way:  if  we
are  to  solve  for  anomalous  density  using  gravity  data  in-
version/interpretation,  we  have  to  (rigorously)  match  syn-
thetic  gravity  data,  generated  by  our  model  of  anomalous
density  (via  the  Newton  volume  integral),  with  “observed”
NETC  gravity  disturbances  (as  opposed  to  “observed”
Bouguer  gravity  anomalies).  Here  “observed”  means
“compiled  from  measured  gravity”.  As  we  have  already
mentioned,  the  difference  between  the  Bouguer  gravity
anomaly
  and  the  NETC  gravity  disturbance  is  subtle,  and
the  aim  here  is  to  estimate  the  impact  and  significance  of
the  difference  on  gravity  data  interpretation,  with  particu-
lar  focus  on  Slovakia.

Notice  that  using  Eq. (5)  the  gravimetric  inverse  prob-

lem  can  be  formulated,  for  instance,  at  the  topographic
surface  (h

T

).  This  means  that  in  the  case  of  forward  and

inverse  modeling,  the  matching  of  observed  and  synthetic
data  can  be  done  at  the  observation  points  (stations)  and
elsewhere,  also  on  the  topographic  surface.  The  gravimet-
ric  inverse  problem  is  solved  in  three  steps,  as  follows:

1 – Compile  the  NETC  gravity  disturbance  (

δ

NETC

)

from  observed  gravity  using  Eq. (2).  For  more  details  re-
garding  the  evaluation  of  normal  gravity  at  the  observa-
tion  point  (with  a  focus  on  Slovakia),  refer  to  Vajda  &
Pánisová  (2005).  For  more  details  regarding  the  topo-
graphic  correction  to  gravity  disturbance,  see  Vajda  et  al.
(2004a)  and  references  therein;

2 – Match  the  “observed”  NETC  gravity  disturbance

with  the  gravitational  effect  of  anomalous  masses  (cf.
Eqs. (4)  and (5))  at  the  observation  points  (say  on  the  to-
pography)  as  follows:

                                                                                                

(6)

3 – Solve  for  anomalous  density  from  the  functional

on  the  right  hand  side  of  Eq. (6)  using  either  direct  inver-
sion  methods  or  forward  modeling  (trial  and  error  itera-
tive)  methods  (e.g.  Blakely  1995).

As  we  have  already  stressed,  in  practice  the  role  of  the

left  hand  side  in  Eq. (6)  is  typically  and  commonly
played  by  the  Bouguer  gravity  anomaly,  be  it  planar  or
spherical,  complete  or  incomplete  etc.  (e.g.  Hayford  &
Bowie  1912;  Bullard  1936;  Heiskanen  &  Moritz  1967;
Vaníček  &  Krakiwsky  1986;  LaFehr  1991;  Chapin  1996;
Talwani  1998;  Arafin  2004;  Vaníček  et  al.  2004).  For  our
purposes  we  consider  an  “ideal”  spherical  complete  Bou-
guer  anomaly
  (SCBA).  “Ideal”  means  that  the  topograph-
ic  correction  needed  to  construct  the  SCBA  is  considered
as  ideally  evaluated  over  the  whole  globe.  Of  course,  we
acknowledge  that  in  practice  the  topographic  correction
for  the  Bouguer  anomaly  is  generally  computed  only  to
the  Hayford-Bowie  radius  (1

29

’58”  or  167 km).  The  ef-

0

 

)

 

,

 

,

 

,

(

— G

2

 

0

d

dh

h

R

h

h

 J 

T

h

0

  

)

 

,

 

,

 

,

(

  

1

h

h

h

L

.

  

 

cos

  

  

  

 

3

  

1

h

R

h

R

 =  

 

,

h

δ

 =  

 

,

h

g

NETC

δ

;

 

)

 

,

 

,

 

,

(

)

,

(

0

2

d

dh

h

R

h

h

J

h

G

T

h

R

 

δρ

 

0

.

 

)

 

,

 

,

 

,

(

 

)

 

,

(

2

 

d

dh

h

R

h

h

J

h

G

T

h

R

 

δρ

 

  

 

,

 

h

δ

g

 

NETC

  

 

,

  

 

  

 

,

  

h

h

g

background image

99

GEOPHYSICAL INDIRECT EFFECT ON INTERPRETATION OF GRAVITY DATA IN SLOVAKIA

fect  of  the  truncation  error  in  computing  the  topographic
correction  to  the  Bouguer  anomaly  has  been  discussed  in
detail  most  recently  by  Mikuška  et  al.  (2006),  and  previ-
ously  by  Talwani  (1998),  LaFehr  (1991),  Kotake  &  Hagi-
wara  (1987),  and  Pick  et  al.  (1973).  This  systematic  error
may  become  significant  when  interpreting  gravity  data
on  a  regional  or  global  scale  and  on  a  local  scale  in
mountainous  areas  (Mikuška  et  al.  2006).  This  effect  is,
however,  outside  the  scope  of  our  investigations.  We
shall  focus  on  the  “ideal”  SCBA.  Let  us  at  last  define  the
SCBA  (cf.  Vaníček  et  al.  1999,  Eq. [38];  Vaníček  et  al.
2004):

                                                                                             

(7)

Notice  that  compared  to  the  NETC  gravity  disturbance

(Eq. (2)),  when  the  SCBA  is  compiled  (using  Eq. (7))  from
observed  gravity,  normal  gravity  is  not  evaluated  at  the
station.  This  is  because  normal  height  (height  above  sea
level)  is  used  in  the  formula  for  normal  gravity  computa-
tion  instead  of  the  ellipsoidal  (geodetic)  height.  Further,
sea  level  (geoid  or  quasigeoid)  is  used  as  the  lower  bound-
ary  of  topographic  masses  in  the  topographic  correction
needed  to  compile  the  SCBA.  This  contrasts  to  the  case  in
which  the  ellipsoid  is  used  as  the  lower  topographic
boundary  in  the  topographic  correction  for  computing  the
NETC  gravity  disturbance.

Geophysical indirect effect

The  Geophysical  Indirect  Effect  (GIE)  is  defined,  in  its

most  general  form,  as  the  systematic  deviation  of  the
(“ideal”)  SCBA  from  the  gravitational  effect  of  the  subsur-
face  anomalous  masses:

  

)

 

,

(h

GIE

  

 

,

h

A

δ

)

 

,

(h

g

SCB

.                                (8)

Realizing  that  the  gravitational  effect  of  anomalous

masses  is  rigorously  equal  to  the  NETC  gravity  distur-
bance  (Vajda  et  al.  2006),  we  get:

 =

)

 

,

(h

GIE

  

)

 

,

(h

g

NETC

δ

)

 

,

(h

g

SCB

.                       (9)

By  substituting  for  the  two  anomalous  gravity  quanti-

ties from Eqs. (2) and (7), we get:

 =

)

 

,

(h

GIE

  

)

 

,

(

 

  

)

 

,

 

(

h

H

h  

N

 

γ

 

γ

 

.

 

)

 

,

 

,

 

,

(

— 

0

2

 

0

0

N

d

dh

h

R

h

h

 J

G

                     (10)

Equation (10)  represents  the  most  general  form  of  the

geophysical  indirect  effect  (Vajda  et  al.  2006).  Notice  that
the  GIE  is  a  spatial  rather  than  a  surface  quantity,  that  is,
its  value  varies  not  only  with  horizontal  position,  but  also
with  the  altitude  of  the  observation  station.  The  GIE  con-

sists of  two terms, 

 =

)

 

,

(h

GIE

)

 

,

(

1

h

GIE

)

 

,

(

2

h

GIE

.

The  first  term:

  

 

,

1

h

GIE

 

)

 

,

(

 

  

)

 

,

 

(

h

H

h  

N

 

γ

 

γ

                             

(11)

accounts  for  the  change  of  normal  gravity  along  the  ver-
tical  displacement
  (between  the  telluroid  and  the  topo-
graphic  surface,  if  the  observation  point  lies  on  the
topographic  surface  (ibid)).  It  can  be  approximated  (Vaj-
da  et  al.  2006,  sec. 9;  Vajda  &  Pánisová  2005,  sec. 5)  as:

  

1

GIE

                                                                                                                                                                                        (12)

where 

γ

0

(

φ)  is  the  normal  gravity  on  the  reference  ellip-

soid,  the  vertical  gradient  of  normal  gravity  is  given  in
[mGal/m],  and  the  geoidal  height  is  given  in  [m].  In  Slo-
vakia,  this  approximation  is  good  to  90 

µGal,  while  the

Fig. 1. The 

GIE

1

term, Eq. (11), in Slovakia [mGal].

  

)

 

,

 

h

g

 SCB

)

 

,

(h

  

)

 

,

 

(

 

N

H

h  

 

γ

.

 

)

 

,

 

,

 

,

(

— G

)

(

2

 

0

0

T

h

N

d

dh

h

R

h

h

 J

 

)

(

),

(

0

0

N

h

N

 

)

(

]

/

[

3086

.

0

N

m

mGal

background image

100

VAJDA and PÁNISOVÁ

effect  itself  is  of  the  order  of  10 mGal  (Vajda  &  Pánisová
2005,  sec. 5).  Notice  that  with  this  approximation,  this  term
becomes  a  surface  quantity,  i.e.  it  only  varies  with  horizontal
location  and  no  longer  varies  with  the  altitude  of  the  obser-
vation  station.  This  effect  computed  for  Slovakia  is  displayed
in  Fig. 1.

The  second  term:

  

 

,

2

h

GIE

0

2

0

0

 

 

)

 

,

 

,

 

,

(

N

dh

h

h

h

 J

— G 

ρ

(13)

is  the  gravitational  effect  of  masses  of  constant  density
between  the  reference  ellipsoid  and  the  sea  level  
(geoid  or
quasigeoid).  It  is  computed  by  numerical  integration  of
the  volume  integral,  while  the  integration  must  be  carried
out  over  the  whole  globe.  Alternatively,  it  can  be  approxi-
mated  by  the  gravitational  effect  of  the  Bouguer  shell
(Blakely  1995,  Secs 3.2.1  and 3.2.2)  with  a  thickness
equal  to  the  (quasi-)geoidal  height  at  the  horizontal  posi-
tion  of  the  observation  point:

  

 

,

2

h

GIE

 

 

 

)

(

 

  

G

3

4

  

2

 

3

3

 

0

h

R  

R

N

R  

ρ

 

π

 

.

                      (14)

Notice  that  the  second  term  of  the  GIE,  as  well  as  its  Bou-

guer  shell  approximation,  is  a  spatial  quantity,  i.e.  it  varies
not  only  with  horizontal  location,  but  also  with  altitude.  This
effect,  the  second  term  of  the  GIE,  computed  for  Slovakia  us-
ing  the  Bouguer  shell  approximation  for  stations  on  the  to-
pographic  surface,  is  displayed  in  Fig. 2.  The  accuracy  of  the

Bouguer  shell  approximation  of 

GIE

2

  will  be  subject  to  fu-

ture  investigation.  The  variability  of 

GIE

2

,  as  computed  us-

ing  the  Bouguer  shell  approximation,  with  the  altitude  of  the
station  is  (for  altitudes  up  to  8 km)  three  orders  of  magnitude
smaller  than  the  effect  itself.  Hence, 

GIE

2

with  the

 

Bouguer

shell  approximation  can  be  further  approximated  as:

 

  

2

GIE

                       ,                                                     (15)

which  becomes  a  surface  quantity.  Assuming  that  the  den-
sity  of  masses  between  sea  level  and  the  reference  ellip-
soid  is  constant  (

ρ

= 2670 kg/m

3

),  this  leads  to  the

following  approximation  for  the  whole  geophysical  indi-
rect  effect  as  a  surface  quantity  (cf.  Eqs. (12)  and  (15)):

 

  

GIE

                                                                                               (16)

This  formula  gives  a  simple  estimate  of  the  GIE.  A  sepa-

ration  between  sea  level  and  the  ellipsoid  of  100 m  pro-
duces  a  GIE  of  about  8 mGal.

If  the  second  term  of  the  GIE  is  neglected,  then  the  GIE

is  referred  to  as  the  “Free-Air  GIE”.  If  the  second  term  of
the  GIE  is  approximated  by  the  gravitational  effect  of  the
Bouguer  plate/shell,  then  the  GIE  is  referred  to  as  the
“Bouguer  GIE”.  The  GIE  for  Slovakia,  computed  using  the
Bouguer  shell  approximation  and  evaluated  on  the  topo-
graphic  surface,  is  displayed  in  Fig. 3.

The  geophysical  indirect  effect  in  Slovakia  has  an  am-

plitude  of  about  3 mGals.  Spatially,  it  varies  on  a  regional
scale  by  a  few  tenths  of  a  mGal.  It  appears  that  for  local
studies  in  Slovakia,  the  GIE  can  be  neglected  as  a  trend  of
no  interest.  However,  in  regional  studies  of  larger  extent,
this  may  not  be  the  case.

Let  us  give  a  rough  estimate  of  the  impact  of  the  GIE  on

the  determination  of  the  depth  to  a  density  interface.  The
error  d  in  the  interpreted  depth  d  of  a  density  interface
(with  a  density  contrast 

ρ)  stemming  from  neglecting  the

GIE  can  be  estimated  using  the  gravitational  effect  of  a
Bouguer  plate  (e.g.  Blakely  1995,  sec. 10.3.1)  as:

                                  .                                                           (17)

Fig. 2.  The 

 

,

 

2

T

GIE

h

 h  

  term  in  Slovakia  [mGal],  evaluated  with  the  Bouguer  shell  approximation  for  stations  on  the  topographic

surface,  Eq. (14).

ρ

G

 

π

 

 

2

GIE

.

 

)

(

4

0

N

G

 

]

[

)

(

]

/

[

0863

.

0

)

(

4

3086

.

0

0

m

N

m

mGal

N

G

 

d

background image

101

GEOPHYSICAL INDIRECT EFFECT ON INTERPRETATION OF GRAVITY DATA IN SLOVAKIA

Naturally,  the  smaller  the  density  contrast  across  the  in-

terface,  the  greater  the  impact  of  the  GIE  on  the  interpreted
depth  of  the  interface.  The  estimated  error  in  the  interpret-
ed  depth  of  a  density  interface  of,  for  example,

ρ = 300 kg/m

3

  due  to  neglecting  the  GIE  (as  displayed

in  Fig. 3)  is  portrayed  in  Fig. 4.  In  Slovakia,  the  magnitude
of  this  error  is  about  300 m.

Using  the  approximation  of  Eq. (16)  we  can  estimate

this  impact  as:

                                                                                               (18)

The  above  simple  estimate  tells  us  that  if  the  GIE  is  ne-

glected,  for  each  meter  of  separation  between  sea  level  and

Fig. 4.  The  impact  of  the  GIE  on  gravimetric  interpretation  in  Slovakia.  This  map  shows  a  coarse  estimate  of  the  error  [m],  due  to  ne-
glecting the GIE, in the interpreted depth of a density interface with a contrast of 300 kg/m

3

 (chosen as an example), cf. Eq. (17).

Fig. 3. The geophysical indirect effect 

GIE

(h

T

,  ) in Slovakia [mGal], evaluated on the topographic surface using the Bouguer shell

approximation,  Eqs. (11)  and (14).

the  reference  ellipsoid  there  is  an  error  of  about  7 meters  in
the  interpreted  depth  of  a  density  interface  with  a  density
contrast  of  300 kg/m

3

.  The  above  estimate  based  on  the

gravitational  effect  of  a  Bouguer  plate  is  coarse.  Better  in-
sight  would  be  gained  by  adding  the  GIE  to  the  input  Bou-
guer  anomalies  in  a  specific  gravity  interpretation,  and  then
examining  the  change  imposed  on  the  interpreted  model.

Historically,  the  lack  of  ellipsoidal  (geodetic)  heights  at

observation  points  meant  that  the  separation  between  sea
level  (geoid  or  quasigeoid)  and  the  reference  ellipsoid  was
ignored  in  gravity  data  inversion  or  interpretation.  Nowa-
days,  in  the  era  of  GPS  positioning  and  with  the  wide-
spread  availability  of  geoid/quasigeoid  models,  ellipsoidal
heights  are  readily  available.  This  means  that  it  is  now  pos-

  d

.

 

N

m

kg

m

kg

]

/

[

]

/

[

073

2

3

3

background image

102

VAJDA and PÁNISOVÁ

sible  to  compute  the  GIE  and  to  add  it  to  the  Bouguer
anomaly,  thereby  leading  to  improved  gravimetric  interpre-
tation  and  inversion.

Discussion and conclusions

The  geophysical  indirect  effect,  as  a  systematic  error  in

gravity  data  inversion  or  interpretation,  originates  in:  1)  the
failure  to  use  ellipsoidal  heights  instead  of  heights  above
sea  level  in  evaluating  the  normal  gravity  used  for  compil-
ing  the  Bouguer  gravity  anomaly;  and  2)  the  failure  to  com-
pute  the  topographic  correction  using  the  reference
ellipsoid  instead  of  sea  level  as  the  lower  boundary  of  the
topographic  masses.  The  issue  we  have  pursued  here  was
the  size  and  shape  of  the  geophysical  indirect  effect  as  the
source  of  a  systematic  error,  and  its  impact  on  gravity  data
interpretation.

In  Slovakia,  the  GIE  is  small  (Fig. 3).  It  has  a  magnitude

of  3 mGal  and  varies  by  about  0.5 mGal/100 km.  We  also
give  a  simple  estimate  of  the  impact  of  this  systematic  er-
ror  in  interpretation  of  density  distribution,  namely  in
terms  of  an  error  in  the  computed  depth  of  a  density  inter-
face  (Eq. (18)).  In  Fig. 4,  we  portray  the  error  of  the  deter-
mination  of  the  depth  of  a  density  interface  with  a  density
contrast  of  300 kg/m

3

  (taken  as  an  example)  caused  by  the

GIE  in  Slovakia.  This  error  has  a  magnitude  of  about
300 meters.  We  conclude  that  in  most  applications  in  Slo-
vakia,  the  GIE  as  a  systematic  error  may  be  considered  in-
significant  and  neglected.  However,  in  other  areas  with
higher  mountains,  or  on  larger  regional  scales,  this  may
not  be  the  case.  On  the  other  hand,  since  this  effect  is  a
systematic  error,  and  since  it  is  possible  to  evaluate  it  nu-
merically,  it  can  be  added  to  Bouguer  gravity  anomalies
for  the  sake  of  an  improved  gravimetric  interpretation.  The
addition  of  the  GIE  to  the  Bouguer  gravity  anomaly  trans-
forms  the  Bouguer  gravity  anomaly,  rigorously  speaking,
to  the  NETC  gravity  disturbance  (Vajda  et  al.  2006).

Acknowledgments:  This  work  was  carried  out  with  partial
support  from  the  Science  and  Technology  Assistance  Agen-
cy  of  the  Slovak  Republic  under  contract  No. APVT-
51-002804,  and  the  VEGA  Grant  Agency  Projects  No. 2/
3057/23  and  2/3004/23.  We  are  grateful  for  the  comments
of  the  reviewers  Bruno  Meurers  and  Miroslav  Bielik  and  es-
pecially  for  the  detailed  comments  by  Ron  Hackney.

References

Arafin  S.  2004:  Relative  Bouguer  anomaly.  The  Leading  Edge  23,

850—851.

Blakely  R.J.  1995:  Potential  theory  in  gravity  and  magnetic  appli-

cations. Cambridge University Press, New York, 1—441.

Bullard  E.C.  1936:  Gravity  measurements  in  East  Africa.  Phil.

Trans.  Roy.  Soc.  London,  Ser. A  235,  445—534.

Chapin  D.A.  1996:  The  theory  of  the  Bouguer  gravity  anomaly:  A

tutorial.  The  Leading  Edge  15,  361—363.

Chapman  M.E.  &  Bodine  J.H.  1979:  Considerations  of  the  indi-

rect  effect  in  marine  gravity  modeling.  J.  Geophys.  Res.  84,
3889—3892.

Hackney R.I. & Featherstone W.E. 2003: Geodetic versus geophys-

ical  perspectives  of  the  ‘Gravity  Anomaly’.  Geophys.  J.  Int.
154,  35—43.

Hayford J.F. & Bowie W. 1912: The effect of topography and isos-

tatic  compensation  upon  the  intensity  of  gravity.  U.S.  Coast
and  Geodetic  Survey,  Spec.  Publ.  
10,  1—132.

Heiskanen  W.A.  &  Moritz  H.  1967:  Physical  geodesy.  Freeman,

San  Francisco,  1—364.

Jung W.Y. & Rabinowitz P.D. 1988: Application of the indirect ef-

fect  on  regional  gravity  fields  in  the  North  Atlantic  Ocean.
Mar.  Geodesy  12,  127—133.

Kotake  Y.  &  Hagiwara  Y.  1987:  Truncation  error  estimates  for  the

spherical  terrain  correction  of  gravity  anomaly  (in  Japanese).
J.  Geodetic  Soc.  Japan  33,  321—328.

LaFehr T.R. 1991: Standardization in gravity reduction. Geophysics

56,  1170—1178.

Meurers  B.  1992:  Untersuchungen  zur  Bestimmung  und  Analyse

des  Schwerefeldes  im  Hochgebirge  am  Beispiel  der  Ostalpen.
Österr. Beitr. Met. Geoph. 6, 1—146.

Mikuška  J.,  Pašteka  R.  &  Marušiak  I.  2006:  Estimation  of  distant

relief effect in gravimetry. Geophysics 71, 6, 59—69.

Pick M., Pícha J. & Vyskočil V. 1973: Theory of the Earth’s gravi-

ty field. Academia, Prague, 1—513 (in Czech).

Talwani  M.  1998:  Errors  in  the  total  Bouguer  reduction.  Geophys-

ics  63,  1125—1130.

Vajda  P.,  Vaníček  P.,   Novák  P. & Meurers  B.  2004a:  On  evalua-

tion of Newton integrals in geodetic coordinates: Exact formu-
lation  and  spherical  approximation.  Contr.  Geophys.  Geod. 34,
4,  289—314.

Vajda P., Vaníček P. & Meurers B. 2004b: On the removal of the ef-

fect  of  topography  on  gravity  disturbance  in  gravity  data  inver-
sion or interpretation. Contr. Geophys. Geod. 34, 4, 339—369.

Vajda P., Vaníček P. & Meurers B. 2006: A new physical foundation

for  anomalous  gravity.  Stud.  Geophys.  Geod.  50,  189—216.

Vajda P. & Pánisová J. 2005: Practical comparison of formulae for

computing  normal  gravity  at  the  observation  point  with  em-
phasis  on  the  territory  of  Slovakia.  Contr.  Geophys.  Geod. 35,
2,  173—188.

Vaníček  P.  &  Krakiwsky  E.J.  1986:  Geodesy:  The  Concepts,  2

nd

rev.  edition,  North-Holland  P.C.  Elsevier  Science  Publishers,
Amsterdam,  1—697.

Vaníček P., Huang J., Novák P., Pagiatakis S., Véronneau M., Mar-

tinec  Z.  &  Featherstone  W.E.  1999:  Determination  of  the
boundary  values  for  the  Stokes-Helmert  problem.  J. Geod.  73,
180—192.

Vaníček  P.,  Tenzer  R.,  Sjöberg  L.E.,  Martinec  Z.  &  Featherstone

W.E.  2004:  New  views  of  the  spherical  Bouguer  gravity
anomaly.  Geoph.  J.  Int.  159,  2,  460—472.

Vogel  A.  1982:  Synthesis  instead  of  reductions  –  new  approaches

to  gravity  interpretations.  Earth  evolution  sciences.  2  Vieweg,
Braunschweig,  117—120.